Semántica y verdad en Alfred Tarski

Alejandro Villamor Iglesias

Para el filósofo y lógico polaco Alfred Tarski, una definición satisfactoria de la verdad debe ser materialmente adecuada y formalmente correcta. Con la adecuación material pretende dar cuenta del predicado «ser verdadero» de tal modo que todo aquello que satisfaga la condición x sea extensión del predicado. Es decir, se trata de aportar una regla semántica que permita determinar para cualquier oración si satisface la condición para ser considerada verdadera. El esquema (V) es el requisito a cumplir por una oración para que se pueda considerar verdadera.

El requisito de la corrección formal pretende salvaguardar la definición de antinomias como la del mentiroso a través de la determinación de la estructura formal del lenguaje sobre la que se dé dicha definición. Para ello se deben especificar las palabras a emplear en la definición, así como las reglas formales sobre las que se someterá la misma. Puesto que los lenguajes formales son los únicos que cumplen con este requisito, la definición de Tarski no es aplicable en el lenguaje natural.

Tarski afirma no poder proporcionar de una manera inequívoca el significado o intensión del predicado «es verdadero». Un breve repaso a la historia de la palabra «verdad», nos dice, muestra con nitidez la existencia de numerosas concepciones acerca de su significado. Con todo, Tarski vincula su propuesta a la aristotélica según la cual es falso «decir de lo que es que no es, o de lo que no es que es», y verdadero «decir de lo que es que es, y de lo que no es que no es». En terminología moderna esto se traduce en la «teoría de la correspondencia». Con esto se quiere mostrar cual es la noción de verdad, precedente, a la que intuitivamente Tarski se adscribe, mas no debemos con esto entender que nuestro autor es un correspondentista. El polaco deja bien claro que esta no ofrece una definición satisfactoria de la verdad.

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En el proyecto de elaborar la definición idónea de verdad, la equivalencia (V) se justifica siguiendo la mentada concepción clásica. De este modo, basándonos en la concepción clásica, se entiende que “la oración «la nieve es blanca» es verdadera si, y sólo si, la nieve es blanca”. Lo que nos proporciona Tarski es un esquema de oración («X es verdadero si, y sólo si, p») tal que p debe ser reemplazada por una oración concreta (suppositio formalis) y X por un nombre de esa oración (suppositio materialis). A cualquier instancia de este esquema lo va a denominar nuestro autor «equivalencia de la forma (V)».

El autor aclara que con el esquema (V) no tenemos, ni en sí mismo ni en ningún caso particular, una definición, tal cual, de la verdad. Cosa distinta será el que podamos considerar como definición parcial de verdad a «toda equivalencia de la forma (V)», es decir, a un caso particular de la convención, como por ejemplo “la oración «la nieve es blanca» es verdadera si, y sólo si, la nieve es blanca”. Más en general, para un lenguaje una definición general de verdad sería aquella en la que, para toda oración de dicho lenguaje, se obtuviera la equivalencia de la forma (V). Esto es, como una suerte de conjunción lógica de todas las definiciones parciales del lenguaje.

Muy relacionada con el concepto de verdad, la semántica es la disciplina que se ocupa de las relaciones entre las expresiones de un lenguaje y los objetos referidos por esas expresiones. Algunos conceptos semánticos son la designación, la satisfacción o la definición. La principal diferencia entre el predicado «ser verdadero» y demás nociones semánticas reside en que la noción de verdad expresa una propiedad de las mismas oraciones. Por la contra, nociones semánticas como las indicadas se refieren a los objetos que denotan esas expresiones; mas no a las oraciones mismas. Así, el predicado «ser verdadero» se apoya sobre otras nociones semánticas, especialmente la noción de satisfacción; lo cual es la causa de que el concepto de verdad se incluya entre los conceptos semánticos.

Muchas tentativas de caracterizar los conceptos semánticos han fracasado. En última instancia, todas ellas se han desarrollado en lenguajes semánticamente cerrados, por lo cual su caracterización frecuentemente termina conduciendo a diversas paradojas y antinomias como la del mentiroso. Para evitar esto, es preciso que lenguaje para definir el predicado «es verdadero» tenga una «estructura especificada». Con estructura especificada se comprende aquel lenguaje que señala todos sus «términos primitivos», carentes de definición, y las reglas de definición para la introducción de nuevos términos definidos. Asimismo, deben proporcionarse criterios que permitan discernir, dentro de las expresiones, aquellas que son oraciones y todos los axiomas u oraciones primitivas del lenguaje junto con las reglas de inferencia a través de las cuales se puedan deducir nuevas oraciones. Ante estos requisitos los lenguajes formalizados son los únicos que cuentan con una estructura totalmente especificada. Y, por ello, como se ha mencionado, la definición no se puede aplicar a los lenguajes naturales.

Ahora bien, ¿qué es un lenguaje formal? Un lenguaje está formalizado cuando al especificar su estructura nos referimos únicamente a la forma de sus expresiones. Por ello, en este lenguaje los teoremas (oraciones inferidas de los axiomas mediante las reglas de inferencia) son las únicas oraciones que se pueden afirmar. Los lenguajes formalizados son, de hecho, los únicos que poseen una estructura especificada.

Para resolver antinomias como la del mentiroso, son necesarias tres suposiciones. Estas son: la correspondiente al «lenguaje semánticamente cerrado», la suposición de que en ese lenguaje valen las leyes de la lógica y, por último, que podemos formular y afirmar en el lenguaje una premisa empírica. Según Tarski, la responsable de la antinomia es la primera suposición por una mera cuestión de descarte. Es esto así en la medida de que, en primer lugar, prescindiendo de la tercera suposición (la concerniente a la afirmación de una premisa empírica) terminaríamos chocando nuevamente con la antinomia. Por su parte, las consecuencias de rechazar la segunda suposición (suponiendo que fuera posible prescindir o cambiar la lógica empleada) serían demasiado caras.

En el marco semántico tarskiano, son además fundamentales los conceptos de «lenguaje objeto» y «metalenguaje». Con el fin de salvar los problemas que acarrearía el uso de un «lenguaje semánticamente cerrado», Tarski se ve avocado al uso de dos lenguajes diferentes. En primer lugar, el «lenguaje objeto” es aquel lenguaje «del que se habla» y se predica la verdad, en el que la expresión figura en suppositio formalis. Por su parte, el metalenguaje es aquel lenguaje empleado para «hablar acerca del» lenguaje objeto, en el que la expresión se menciona o figura en suppositio materialis. El que la verdad se predique del lenguaje objeto quiere decir que, en consecuencia, esta no se puede predicar del metalenguaje. Para que ello fuera así este metalenguaje tendría que funcionar como lenguaje objeto de un nuevo metalenguaje con una mayor capacidad expresiva que el anterior. Por este motivo dice Tarski que nos presenta una «jerarquía de lenguajes». Asimismo, cabe decir que a través de la presente distinción la antinomia del mentiroso[i] encuentra su solución: «Estoy mintiendo» es una oración del metalenguaje de tal modo que no puede predicar de sí misma su valor veritativo; se hace necesario, para que tal cosa sucediera, otro lenguaje «esencialmente más rico» que predique el valor de verdad de la susodicha oración.

Para cumplir su función, el metalenguaje ha de tener una riqueza lógica suficiente que permita dar cuenta de las frases del lenguaje objeto. El metalenguaje ha de ser «esencialmente más rico» que el lenguaje-objeto, lo que se traduce en la posesión de «unas variables de un tipo lógico superior al lenguaje-objeto». Es decir, el metalenguaje, para cumplir con su función, debe poseer una mayor capacidad expresiva que el lenguaje objeto; esto se puede constatar con la necesidad de que el metalenguaje posea un nombre para cada una de las expresiones del lenguaje objeto. De otro modo seguiríamos encerrados en esa circularidad que condena a los lenguajes semánticamente cerrados a la antinomia del mentiroso. Por consiguiente, esta es una condición necesaria para la construcción de una definición satisfactoria de verdad.

La noción semántica que define la noción de verdad, para Tarski, es la de satisfacción. Esta consiste en la relación entre objetos y expresiones llamadas funciones predicativas, proposicionales o sentencias abiertas tales como, por ejemplo, «x es blanca». Si por oración entendemos una función proposicional que carece de variables libres, entonces decimos que determinados objetos satisfacen una función si esta se convierte en una oración verdadera cuando reemplazamos sus variables por los nombres de los objetos. En el caso del ejemplo mencionado, la nieve sí satisface la función puesto que es verdadero que «la nieve es blanca».

Una sentencia abierta o función predicativa es una expresión con una estructura formal análoga a la de las proposiciones, pero que contiene variables libres. Un ejemplo sería «x es verde» o «x odia a y». Por oración entendemos una función proposicional que carece de variables libres por lo que, como nos dice Tarski, sólo tenemos dos posibilidades: o la oración es satisfecha por todos los objetos o por ninguno. De ahí se deriva que una oración es verdadera cuando un objeto satisface una determinada función predicativa al sustituir la variable libre por el nombre de este objeto. El problema que nos encontramos es que el lenguaje es infinito y, por tanto, las posibilidades de sustitución también lo son. Ahora bien, este es un problema que no afecta en ningún caso a las sentencias u oraciones, carentes de variables libres. ¿Por qué? Porque sea cual sea la secuencia de objetos propuesta, esta siempre satisfará a la oración. Repárese en esta oración: La nieve es blanca. Sea cual sea la secuencia de objetos que propongamos (<ordenador, lápiz, folio…>) la oración siempre es verdadera. De la misma manera, si tomamos otra oración cualquiera que sea falsa —por ejemplo: Jorge Luis Borges Acevedo está vivo—, ante cualquier secuencia de objetos la oración, que, insistimos, no tiene variables libres, continúa siendo falsa.

Tarski afirma que un enunciado es comprobable si se puede inferir a través de unas reglas de inferencia de unos axiomas dados. De hecho, el filósofo polaco denomina a los axiomas, así como a las oraciones deducidas de ellos a partir de una serie de reglas de inferencia, de un determinado lenguaje con estructura especificada como «oraciones comprobables». Por este motivo, dice, no resulta especialmente comprometedor afirmar que «todas las oraciones comprobables son verdaderas». Basta con probar que los axiomas son verdaderos y que el correcto empleo de las reglas de inferencia produce nuevos enunciados verdaderos. Esto último no requiere, por tanto, medios lógicos complejos. Sin embargo, no es menos cierto que «hay oraciones verdaderas que no son comprobables», esto es, no toda oración verdadera es comprobable. Esto es así puesto que, como hemos visto, la definición del predicado «es verdadero» sí requiere unos medios lógicos más sutiles, mostrándose la necesidad de un metalenguaje.

 

 

[i] En su manifestación más folclórica, esta antinomia se presenta de la siguiente manera: «Estoy mintiendo» o, incluso, «Miento». En virtud del principio del tercio excluso vemos que tenemos aquí dos opciones: o bien que la oración sea verdadera y, consecuentemente, falsa, o bien que sea falsa y, por tanto, verdadera. Escoja lo que se escoja el problema es tal que siempre nos toparemos con una contradicción.

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